{l}{x+y=2}{5x+3y=13} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 5 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+3y=13 માં x માટે -y+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-y+2\right)+3y=13$$

-y+2 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5y+10+3y=13$$

3y માં -5y ઍડ કરો.

$$-2y+10=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$-2y=3$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{2}$$

x=-y+2માં y માટે -\frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

-\frac{3}{2} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}+2$$

\frac{3}{2} માં 2 ઍડ કરો.

$$x=\frac{7}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 13\\\frac{5}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+5y=5\times 2,5x+3y=13$$

સરળ બનાવો.

$$5x+5y=10,5x+3y=13$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 5x+5y=10માંથી 5x+3y=13 ને ઘટાડો.

$$5x-5x+5y-3y=10-13$$

-5x માં 5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5x અને -5x ને વિભાજિત કરો.

$$5y-3y=10-13$$

-3y માં 5y ઍડ કરો.

$$2y=10-13$$

-13 માં 10 ઍડ કરો.

$$2y=-3$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{2}$$

5x+3y=13માં y માટે -\frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+3\left(-\frac{3}{2}\right)=13$$

-\frac{3}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-\frac{9}{2}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9}{2} ઍડ કરો.

$$5x=\frac{35}{2}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$