{l}{x+5y-7=0}{2x-y-4=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y - 7 = 0 } \\ { 2 x - y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11} \approx 2.454545455$$

$$y=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+5y-7=0,2x-y-4=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+5y-7=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7 ઍડ કરો.

$$x+5y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-5y+7$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-y-4=0 માં x માટે -5y+7 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-5y+7\right)-y-4=0$$

-5y+7 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+14-y-4=0$$

-y માં -10y ઍડ કરો.

$$-11y+14-4=0$$

-4 માં 14 ઍડ કરો.

$$-11y+10=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$-11y=-10$$

બન્ને બાજુનો -11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{10}{11}$$

x=-5y+7માં y માટે \frac{10}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-5\times \frac{10}{11}+7$$

\frac{10}{11} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{50}{11}+7$$

-\frac{50}{11} માં 7 ઍડ કરો.

$$x=\frac{27}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{27}{11},y=\frac{10}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+5y-7=0,2x-y-4=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times 2}&-\frac{5}{-1-5\times 2}\\-\frac{2}{-1-5\times 2}&\frac{1}{-1-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{2}{11}\times 7-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}\\\frac{10}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{27}{11},y=\frac{10}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+5y-7=0,2x-y-4=0$$

x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+2\times 5y+2\left(-7\right)=0,2x-y-4=0$$

સરળ બનાવો.

$$2x+10y-14=0,2x-y-4=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x+10y-14=0માંથી 2x-y-4=0 ને ઘટાડો.

$$2x-2x+10y+y-14+4=0$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$10y+y-14+4=0$$

y માં 10y ઍડ કરો.

$$11y-14+4=0$$

4 માં -14 ઍડ કરો.

$$11y-10=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 10 ઍડ કરો.

$$11y=10$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{10}{11}$$

2x-y-4=0માં y માટે \frac{10}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-\frac{10}{11}-4=0$$

-4 માં -\frac{10}{11} ઍડ કરો.

$$2x-\frac{54}{11}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{54}{11} ઍડ કરો.

$$2x=\frac{54}{11}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{27}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{27}{11},y=\frac{10}{11}$$