{l}{x+2y=1}{-x+3y=-4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - x + 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+2y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-2y+1$$

અન્ય સમીકરણ, -x+3y=-4 માં x માટે -2y+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-2y+1\right)+3y=-4$$

-2y+1 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y-1+3y=-4$$

3y માં 2y ઍડ કરો.

$$5y-1=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$5y=-3$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-2y+1માં y માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\left(-\frac{3}{5}\right)+1$$

-\frac{3}{5} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

\frac{6}{5} માં 1 ઍડ કરો.

$$x=\frac{11}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-2\left(-1\right)}&\frac{1}{3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x-2y=-1,-x+3y=-4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -x-2y=-1માંથી -x+3y=-4 ને ઘટાડો.

$$-x+x-2y-3y=-1+4$$

x માં -x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -x અને x ને વિભાજિત કરો.

$$-2y-3y=-1+4$$

-3y માં -2y ઍડ કરો.

$$-5y=-1+4$$

4 માં -1 ઍડ કરો.

$$-5y=3$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{5}$$

-x+3y=-4માં y માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+3\left(-\frac{3}{5}\right)=-4$$

-\frac{3}{5} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x-\frac{9}{5}=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9}{5} ઍડ કરો.

$$-x=-\frac{11}{5}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{11}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$