{l}{x+2y=-2}{4y=1-3x} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$4y+3x=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+2y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-2y-2$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+4y=1 માં x માટે -2y-2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

-2y-2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6y-6+4y=1$$

4y માં -6y ઍડ કરો.

$$-2y-6=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$-2y=7$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{7}{2}$$

x=-2y-2માં y માટે -\frac{7}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

-\frac{7}{2} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=7-2$$

7 માં -2 ઍડ કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$4y+3x=1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$4y+3x=1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

સરળ બનાવો.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+6y=-6માંથી 3x+4y=1 ને ઘટાડો.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-4y=-6-1$$

-4y માં 6y ઍડ કરો.

$$2y=-6-1$$

-1 માં -6 ઍડ કરો.

$$2y=-7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{7}{2}$$

3x+4y=1માં y માટે -\frac{7}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

-\frac{7}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-14=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14 ઍડ કરો.

$$3x=15$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$