{l}{u+v=10}{3u-2v=5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

u, v માટે ઉકેલો

$$u=5$$

$$v=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને u ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને u માટે ઉકેલો.

$$u+v=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી v નો ઘટાડો કરો.

$$u=-v+10$$

અન્ય સમીકરણ, 3u-2v=5 માં u માટે -v+10 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

-v+10 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3v+30-2v=5$$

-2v માં -3v ઍડ કરો.

$$-5v+30=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 30 નો ઘટાડો કરો.

$$-5v=-25$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$v=5$$

u=-v+10માં v માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું u માટે ઉકેલો.

$$u=-5+10$$

-5 માં 10 ઍડ કરો.

$$u=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$u=5,v=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો u અને v ને કાઢો.

$$u=5,v=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

u અને 3u ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

સરળ બનાવો.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3u+3v=30માંથી 3u-2v=5 ને ઘટાડો.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

-3u માં 3u ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3u અને -3u ને વિભાજિત કરો.

$$3v+2v=30-5$$

2v માં 3v ઍડ કરો.

$$5v=30-5$$

-5 માં 30 ઍડ કરો.

$$5v=25$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$v=5$$

3u-2v=5માં v માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું u માટે ઉકેલો.

$$3u-2\times 5=5$$

5 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3u-10=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 10 ઍડ કરો.

$$3u=15$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$u=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$u=5,v=5$$