{l}{rx-ry=1}{rx-9y=r} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ ry ઍડ કરો.

$$rx=ry+1$$

બન્ને બાજુનો r થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

ry+1 ને \frac{1}{r} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

અન્ય સમીકરણ, rx-9y=r માં x માટે y+\frac{1}{r} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

y+\frac{1}{r} ને r વાર ગુણાકાર કરો.

$$ry+1-9y=r$$

-9y માં ry ઍડ કરો.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

બન્ને બાજુનો r-9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

x=y+\frac{1}{r}માં y માટે \frac{r-1}{r-9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

\frac{r-1}{r-9} માં \frac{1}{r} ઍડ કરો.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી rx+\left(-r\right)y=1માંથી rx-9y=r ને ઘટાડો.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

-rx માં rx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો rx અને -rx ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

9y માં -ry ઍડ કરો.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

બન્ને બાજુનો -r+9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

rx-9y=rમાં y માટે \frac{1-r}{-r+9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

\frac{1-r}{-r+9} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} ઍડ કરો.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

બન્ને બાજુનો r થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$