{l}{kx-y-k+2=0}{ky+x+2=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { k x - y - k + 2 = 0 } \\ { k y + x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1}$$

$$y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$kx-y+2-k=0,x+ky+2=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$kx-y+2-k=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -k+2 નો ઘટાડો કરો.

$$kx-y=k-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$kx=y+k-2$$

બન્ને બાજુનો k થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{k}\left(y+k-2\right)$$

y+k-2 ને \frac{1}{k} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{k}y+\frac{k-2}{k}$$

અન્ય સમીકરણ, x+ky+2=0 માં x માટે \frac{-2+y+k}{k} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{k}y+\frac{k-2}{k}+ky+2=0$$

ky માં \frac{y}{k} ઍડ કરો.

$$\left(k+\frac{1}{k}\right)y+\frac{k-2}{k}+2=0$$

2 માં \frac{k-2}{k} ઍડ કરો.

$$\left(k+\frac{1}{k}\right)y+3-\frac{2}{k}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3-\frac{2}{k} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(k+\frac{1}{k}\right)y=-3+\frac{2}{k}$$

બન્ને બાજુનો k+\frac{1}{k} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

x=\frac{1}{k}y+\frac{k-2}{k}માં y માટે \frac{2-3k}{k^{2}+1} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{k}\times \frac{2-3k}{k^{2}+1}+\frac{k-2}{k}$$

\frac{2-3k}{k^{2}+1} ને \frac{1}{k} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2-3k}{k\left(k^{2}+1\right)}+\frac{k-2}{k}$$

\frac{2-3k}{k\left(k^{2}+1\right)} માં \frac{k-2}{k} ઍડ કરો.

$$x=\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1},y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$kx-y+2-k=0,x+ky+2=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{kk-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{kk-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{kk-\left(-1\right)}&\frac{k}{kk-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{k^{2}+1}&\frac{1}{k^{2}+1}\\-\frac{1}{k^{2}+1}&\frac{k}{k^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k-2\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{k^{2}+1}\left(k-2\right)+\frac{1}{k^{2}+1}\left(-2\right)\\\left(-\frac{1}{k^{2}+1}\right)\left(k-2\right)+\frac{k}{k^{2}+1}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1}\\\frac{2-3k}{k^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{k^{2}-2k-2}{k^{2}+1},y=\frac{2-3k}{k^{2}+1}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$kx-y+2-k=0,x+ky+2=0$$

kx અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો k સાથે ગુણાકાર કરો.

$$kx-y+2-k=0,kx+kky+k\times 2=0$$

સરળ બનાવો.

$$kx-y+2-k=0,kx+k^{2}y+2k=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી kx-y+2-k=0માંથી kx+k^{2}y+2k=0 ને ઘટાડો.

$$kx+\left(-k\right)x-y+\left(-k^{2}\right)y+2-k-2k=0$$

-kx માં kx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો kx અને -kx ને વિભાજિત કરો.

$$-y+\left(-k^{2}\right)y+2-k-2k=0$$

-k^{2}y માં -y ઍડ કરો.

$$\left(-k^{2}-1\right)y+2-k-2k=0$$

-2k માં -k+2 ઍડ કરો.

$$\left(-k^{2}-1\right)y+2-3k=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -3k+2 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-k^{2}-1\right)y=3k-2$$

બન્ને બાજુનો -1-k^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3k-2}{k^{2}+1}$$

x+ky+2=0માં y માટે -\frac{3k-2}{1+k^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+k\left(-\frac{3k-2}{k^{2}+1}\right)+2=0$$

-\frac{3k-2}{1+k^{2}} ને k વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-\frac{k\left(3k-2\right)}{k^{2}+1}+2=0$$

2 માં -\frac{k\left(3k-2\right)}{1+k^{2}} ઍડ કરો.

$$x+\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2-k^{2}+2k}{1+k^{2}} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2+2k-k^{2}}{k^{2}+1},y=-\frac{3k-2}{k^{2}+1}$$