{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ by ઍડ કરો.

$$ax=by-8$$

બન્ને બાજુનો a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8 ને \frac{1}{a} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

અન્ય સમીકરણ, bx+ay+1=0 માં x માટે \frac{by-8}{a} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a} ને b વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay માં \frac{b^{2}y}{a} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1 માં -\frac{8b}{a} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{a-8b}{a} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

બન્ને બાજુનો a+\frac{b^{2}}{a} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}માં y માટે \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ને \frac{b}{a} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} માં -\frac{8}{a} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax અને bx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો b સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

સરળ બનાવો.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0માંથી abx+a^{2}y+a=0 ને ઘટાડો.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax માં bax ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો bax અને -bax ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y માં -b^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8b-a નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

બન્ને બાજુનો -b^{2}-a^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0માં y માટે -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ને a વાર ગુણાકાર કરો.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1 માં -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ઍડ કરો.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} નો ઘટાડો કરો.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

બન્ને બાજુનો b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ by ઍડ કરો.

$$ax=by-8$$

બન્ને બાજુનો a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8 ને \frac{1}{a} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

અન્ય સમીકરણ, bx+ay+1=0 માં x માટે \frac{by-8}{a} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a} ને b વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay માં \frac{b^{2}y}{a} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1 માં -\frac{8b}{a} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{a-8b}{a} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

બન્ને બાજુનો a+\frac{b^{2}}{a} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}માં y માટે \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ને \frac{b}{a} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} માં -\frac{8}{a} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax અને bx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો b સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

સરળ બનાવો.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0માંથી abx+a^{2}y+a=0 ને ઘટાડો.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax માં bax ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો bax અને -bax ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y માં -b^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8b-a નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

બન્ને બાજુનો -b^{2}-a^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0માં y માટે -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ને a વાર ગુણાકાર કરો.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1 માં -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ઍડ કરો.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} નો ઘટાડો કરો.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

બન્ને બાજુનો b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$