{l}{ax+by=9}{2bx-ay=-6} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = 9 } \\ { 2 b x - a y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{3\left(2b-3a\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$ax+by=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી by નો ઘટાડો કરો.

$$ax=\left(-b\right)y+9$$

બન્ને બાજુનો a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+9\right)$$

-by+9 ને \frac{1}{a} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}$$

અન્ય સમીકરણ, 2bx+\left(-a\right)y=-6 માં x માટે \frac{-by+9}{a} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2b\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}\right)+\left(-a\right)y=-6$$

\frac{-by+9}{a} ને 2b વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}\right)y+\frac{18b}{a}+\left(-a\right)y=-6$$

-ay માં -\frac{2b^{2}y}{a} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}-a\right)y+\frac{18b}{a}=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{18b}{a} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{2b^{2}}{a}-a\right)y=-\frac{18b}{a}-6$$

બન્ને બાજુનો -\frac{2b^{2}}{a}-a થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{9}{a}માં y માટે \frac{6\left(3b+a\right)}{a^{2}+2b^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{9}{a}$$

\frac{6\left(3b+a\right)}{a^{2}+2b^{2}} ને -\frac{b}{a} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{6b\left(a+3b\right)}{a\left(a^{2}+2b^{2}\right)}+\frac{9}{a}$$

-\frac{6b\left(3b+a\right)}{a\left(a^{2}+2b^{2}\right)} માં \frac{9}{a} ઍડ કરો.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\2b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{a\left(-a\right)-b\times 2b}&-\frac{b}{a\left(-a\right)-b\times 2b}\\-\frac{2b}{a\left(-a\right)-b\times 2b}&\frac{a}{a\left(-a\right)-b\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+2b^{2}}\\\frac{2b}{a^{2}+2b^{2}}&-\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\times 9+\frac{b}{a^{2}+2b^{2}}\left(-6\right)\\\frac{2b}{a^{2}+2b^{2}}\times 9+\left(-\frac{a}{a^{2}+2b^{2}}\right)\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}\\\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$ax+by=9,2bx+\left(-a\right)y=-6$$

ax અને 2bx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2b સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2bax+2bby=2b\times 9,a\times 2bx+a\left(-a\right)y=a\left(-6\right)$$

સરળ બનાવો.

$$2abx+2b^{2}y=18b,2abx+\left(-a^{2}\right)y=-6a$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2abx+2b^{2}y=18bમાંથી 2abx+\left(-a^{2}\right)y=-6a ને ઘટાડો.

$$2abx+\left(-2ab\right)x+2b^{2}y+a^{2}y=18b+6a$$

-2bax માં 2bax ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2bax અને -2bax ને વિભાજિત કરો.

$$2b^{2}y+a^{2}y=18b+6a$$

a^{2}y માં 2b^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(a^{2}+2b^{2}\right)y=18b+6a$$

6a માં 18b ઍડ કરો.

$$\left(a^{2}+2b^{2}\right)y=6a+18b$$

બન્ને બાજુનો 2b^{2}+a^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

2bx+\left(-a\right)y=-6માં y માટે \frac{6\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2bx+\left(-a\right)\times \frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}=-6$$

\frac{6\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} ને -a વાર ગુણાકાર કરો.

$$2bx-\frac{6a\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{6a\left(a+3b\right)}{2b^{2}+a^{2}} ઍડ કરો.

$$2bx=\frac{6b\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

બન્ને બાજુનો 2b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3\left(3a-2b\right)}{a^{2}+2b^{2}},y=\frac{6\left(a+3b\right)}{a^{2}+2b^{2}}$$