{l}{a-2b=7}{b+2a=5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { a - 2 b = 7 } \\ { b + 2 a = 5 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3.4$$

$$b = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a-2b=7,2a+b=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$a-2b=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2b ઍડ કરો.

$$a=2b+7$$

અન્ય સમીકરણ, 2a+b=5 માં a માટે 2b+7 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(2b+7\right)+b=5$$

2b+7 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4b+14+b=5$$

b માં 4b ઍડ કરો.

$$5b+14=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 14 નો ઘટાડો કરો.

$$5b=-9$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-\frac{9}{5}$$

a=2b+7માં b માટે -\frac{9}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=2\left(-\frac{9}{5}\right)+7$$

-\frac{9}{5} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{18}{5}+7$$

-\frac{18}{5} માં 7 ઍડ કરો.

$$a=\frac{17}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{17}{5},b=-\frac{9}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$a-2b=7,2a+b=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 5\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{17}{5},b=-\frac{9}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$a-2b=7,2a+b=5$$

a અને 2a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2a+2\left(-2\right)b=2\times 7,2a+b=5$$

સરળ બનાવો.

$$2a-4b=14,2a+b=5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2a-4b=14માંથી 2a+b=5 ને ઘટાડો.

$$2a-2a-4b-b=14-5$$

-2a માં 2a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2a અને -2a ને વિભાજિત કરો.

$$-4b-b=14-5$$

-b માં -4b ઍડ કરો.

$$-5b=14-5$$

-5 માં 14 ઍડ કરો.

$$-5b=9$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-\frac{9}{5}$$

2a+b=5માં b માટે -\frac{9}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$2a-\frac{9}{5}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9}{5} ઍડ કરો.

$$2a=\frac{34}{5}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{17}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{17}{5},b=-\frac{9}{5}$$