{l}{a=x+y}{9=x^2+y^2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { a = x + y } \\ { 9 = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x+y=a$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{2}+y^{2}=9$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે x+y=a ને ઉકેલો.

$$x+y=a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+a$$

અન્ય સમીકરણ, y^{2}+x^{2}=9 માં x માટે -y+a નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

વર્ગ -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

y^{2} માં y^{2} ઍડ કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1+1\left(-1\right)^{2} ને, b માટે 1\left(-1\right)\times 2a ને, અને c માટે a^{2}-9 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

a^{2}-9 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

-8a^{2}+72 માં 4a^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

-4a^{2}+72 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 2\sqrt{-a^{2}+18} માં 2a ઍડ કરો.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{-a^{2}+18} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 2a માંથી 2\sqrt{-a^{2}+18} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{-a^{2}+18} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} અને \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-y+a માં y માટે \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

હવે સમીકરણ x=-y+a માં \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x+y=a$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$x^{2}+y^{2}=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે x+y=a ને ઉકેલો.

$$x+y=a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+a$$

અન્ય સમીકરણ, y^{2}+x^{2}=9 માં x માટે -y+a નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

વર્ગ -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

y^{2} માં y^{2} ઍડ કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1+1\left(-1\right)^{2} ને, b માટે 1\left(-1\right)\times 2a ને, અને c માટે a^{2}-9 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

a^{2}-9 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

-8a^{2}+72 માં 4a^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

-4a^{2}+72 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 2\sqrt{-a^{2}+18} માં 2a ઍડ કરો.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{-a^{2}+18} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 2a માંથી 2\sqrt{-a^{2}+18} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{-a^{2}+18} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} અને \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-y+a માં y માટે \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

હવે સમીકરણ x=-y+a માં \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$