{l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m=1$$

$$n=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$9m-13n=22$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 13n ઍડ કરો.

$$9m=13n+22$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

13n+22 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

અન્ય સમીકરણ, 2m+3n=-1 માં m માટે \frac{13n+22}{9} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

\frac{13n+22}{9} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

3n માં \frac{26n}{9} ઍડ કરો.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{44}{9} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{53}{9} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$n=-1$$

m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}માં n માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

-1 ને \frac{13}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{13}{9} માં \frac{22}{9} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=1,n=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=1,n=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m અને 2m ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 18m-26n=44માંથી 18m+27n=-9 ને ઘટાડો.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

-18m માં 18m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 18m અને -18m ને વિભાજિત કરો.

$$-26n-27n=44+9$$

-27n માં -26n ઍડ કરો.

$$-53n=44+9$$

9 માં 44 ઍડ કરો.

$$-53n=53$$

બન્ને બાજુનો -53 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-1$$

2m+3n=-1માં n માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

-1 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2m-3=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$2m=2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=1,n=-1$$