{l}{8m-6n=-28}{4m+3n=-2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 m - 6 n = - 28 } \\ { 4 m + 3 n = - 2 } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m=-2$$

$$n=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8m-6n=-28,4m+3n=-2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$8m-6n=-28$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6n ઍડ કરો.

$$8m=6n-28$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{8}\left(6n-28\right)$$

6n-28 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{3}{4}n-\frac{7}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4m+3n=-2 માં m માટે \frac{3n}{4}-\frac{7}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{3}{4}n-\frac{7}{2}\right)+3n=-2$$

\frac{3n}{4}-\frac{7}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3n-14+3n=-2$$

3n માં 3n ઍડ કરો.

$$6n-14=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14 ઍડ કરો.

$$6n=12$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=2$$

m=\frac{3}{4}n-\frac{7}{2}માં n માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=\frac{3}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

2 ને \frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{3-7}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{2} માં -\frac{7}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=-2,n=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8m-6n=-28,4m+3n=-2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-28\right)+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{12}\left(-28\right)+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=-2,n=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8m-6n=-28,4m+3n=-2$$

8m અને 4m ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 8m+4\left(-6\right)n=4\left(-28\right),8\times 4m+8\times 3n=8\left(-2\right)$$

સરળ બનાવો.

$$32m-24n=-112,32m+24n=-16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 32m-24n=-112માંથી 32m+24n=-16 ને ઘટાડો.

$$32m-32m-24n-24n=-112+16$$

-32m માં 32m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 32m અને -32m ને વિભાજિત કરો.

$$-24n-24n=-112+16$$

-24n માં -24n ઍડ કરો.

$$-48n=-112+16$$

16 માં -112 ઍડ કરો.

$$-48n=-96$$

બન્ને બાજુનો -48 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=2$$

4m+3n=-2માં n માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$4m+3\times 2=-2$$

2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4m+6=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$4m=-8$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=-2,n=2$$