{l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$78x+40y=1280$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 40y નો ઘટાડો કરો.

$$78x=-40y+1280$$

બન્ને બાજુનો 78 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

-40y+1280 ને \frac{1}{78} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

અન્ય સમીકરણ, 120x+80y=2800 માં x માટે \frac{-20y+640}{39} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

\frac{-20y+640}{39} ને 120 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

80y માં -\frac{800y}{13} ઍડ કરો.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{25600}{13} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{240}{13} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=45$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}માં y માટે 45 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

45 ને -\frac{20}{39} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{300}{13} માં \frac{640}{39} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{20}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

78x અને 120x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 120 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 78 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

સરળ બનાવો.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 9360x+4800y=153600માંથી 9360x+6240y=218400 ને ઘટાડો.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

-9360x માં 9360x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 9360x અને -9360x ને વિભાજિત કરો.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

-6240y માં 4800y ઍડ કરો.

$$-1440y=153600-218400$$

-218400 માં 153600 ઍડ કરો.

$$-1440y=-64800$$

બન્ને બાજુનો -1440 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=45$$

120x+80y=2800માં y માટે 45 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$120x+80\times 45=2800$$

45 ને 80 વાર ગુણાકાર કરો.

$$120x+3600=2800$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3600 નો ઘટાડો કરો.

$$120x=-800$$

બન્ને બાજુનો 120 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{20}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$