{l}{7x+3y=43}{4x-3y=67} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=10$$

$$y=-9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x+3y=43$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-3y+43$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

-3y+43 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x-3y=67 માં x માટે \frac{-3y+43}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

\frac{-3y+43}{7} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

-3y માં -\frac{12y}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{172}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{33}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-9$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}માં y માટે -9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

-9 ને -\frac{3}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{27}{7} માં \frac{43}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=10,y=-9$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=10,y=-9$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

સરળ બનાવો.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 28x+12y=172માંથી 28x-21y=469 ને ઘટાડો.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

-28x માં 28x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 28x અને -28x ને વિભાજિત કરો.

$$12y+21y=172-469$$

21y માં 12y ઍડ કરો.

$$33y=172-469$$

-469 માં 172 ઍડ કરો.

$$33y=-297$$

બન્ને બાજુનો 33 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-9$$

4x-3y=67માં y માટે -9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

-9 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+27=67$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 27 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=40$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=10,y=-9$$