{l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-6+5=y-1$$

-1મેળવવા માટે -6 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$2x-1=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$2x-1-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$2x-y=-1+1$$

0મેળવવા માટે -1 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$2x-y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x+18y=43$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 18y નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-18y+43$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

-18y+43 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-y=0 માં x માટે \frac{-18y+43}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

\frac{-18y+43}{7} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

-y માં -\frac{36y}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{86}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{43}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

2 ને -\frac{18}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{36}{7} માં \frac{43}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-6+5=y-1$$

-1મેળવવા માટે -6 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$2x-1=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$2x-1-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$2x-y=-1+1$$

0મેળવવા માટે -1 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$2x-y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-6+5=y-1$$

-1મેળવવા માટે -6 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$2x-1=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$2x-1-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$2x-y=-1+1$$

0મેળવવા માટે -1 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$2x-y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

7x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

સરળ બનાવો.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 14x+36y=86માંથી 14x-7y=0 ને ઘટાડો.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

-14x માં 14x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 14x અને -14x ને વિભાજિત કરો.

$$36y+7y=86$$

7y માં 36y ઍડ કરો.

$$43y=86$$

બન્ને બાજુનો 43 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

2x-y=0માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-2=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$2x=2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=2$$