{l}{6x-4y=30}{2x+6y=-34} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 4 y = 30 } \\ { 2 x + 6 y = - 34 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x-4y=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$6x=4y+30$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(4y+30\right)$$

4y+30 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+5$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+6y=-34 માં x માટે \frac{2y}{3}+5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{2}{3}y+5\right)+6y=-34$$

\frac{2y}{3}+5 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{4}{3}y+10+6y=-34$$

6y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{22}{3}y+10=-34$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{22}{3}y=-44$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{22}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-6$$

x=\frac{2}{3}y+5માં y માટે -6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6\right)+5$$

-6 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-4+5$$

-4 માં 5 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 30+\frac{1}{11}\left(-34\right)\\-\frac{1}{22}\times 30+\frac{3}{22}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

6x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 6x+2\left(-4\right)y=2\times 30,6\times 2x+6\times 6y=6\left(-34\right)$$

સરળ બનાવો.

$$12x-8y=60,12x+36y=-204$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12x-8y=60માંથી 12x+36y=-204 ને ઘટાડો.

$$12x-12x-8y-36y=60+204$$

-12x માં 12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12x અને -12x ને વિભાજિત કરો.

$$-8y-36y=60+204$$

-36y માં -8y ઍડ કરો.

$$-44y=60+204$$

204 માં 60 ઍડ કરો.

$$-44y=264$$

બન્ને બાજુનો -44 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-6$$

2x+6y=-34માં y માટે -6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+6\left(-6\right)=-34$$

-6 ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x-36=-34$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 36 ઍડ કરો.

$$2x=2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-6$$