{l}{6x+7y=-19}{6x-5y=17} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 19 } \\ { 6 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+7y=-19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-7y-19$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-19\right)$$

-7y-19 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x-5y=17 માં x માટે \frac{-7y-19}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}\right)-5y=17$$

\frac{-7y-19}{6} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-7y-19-5y=17$$

-5y માં -7y ઍડ કરો.

$$-12y-19=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 19 ઍડ કરો.

$$-12y=36$$

બન્ને બાજુનો -12 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{6}\left(-3\right)-\frac{19}{6}$$

-3 ને -\frac{7}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{19}{6}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{2} માં -\frac{19}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-7\times 6}&-\frac{7}{6\left(-5\right)-7\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-5\right)-7\times 6}&\frac{6}{6\left(-5\right)-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{72}&\frac{7}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{72}\left(-19\right)+\frac{7}{72}\times 17\\\frac{1}{12}\left(-19\right)-\frac{1}{12}\times 17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+7y=-19માંથી 6x-5y=17 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+7y+5y=-19-17$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$7y+5y=-19-17$$

5y માં 7y ઍડ કરો.

$$12y=-19-17$$

-17 માં -19 ઍડ કરો.

$$12y=-36$$

બન્ને બાજુનો 12 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

6x-5y=17માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x-5\left(-3\right)=17$$

-3 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+15=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 15 નો ઘટાડો કરો.

$$6x=2$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$