{l}{6x+5y=1}{x-y=2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+5y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-5y+1$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, x-y=2 માં x માટે \frac{-5y+1}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}-y=2$$

-y માં -\frac{5y}{6} ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{6}y+\frac{1}{6}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{6} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{11}{6}y=\frac{11}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{11}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-1$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}$$

-1 ને -\frac{5}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5+1}{6}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{6} માં \frac{1}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{6\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&\frac{6}{6\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{5}{11}\times 2\\\frac{1}{11}-\frac{6}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

6x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6x+5y=1,6x+6\left(-1\right)y=6\times 2$$

સરળ બનાવો.

$$6x+5y=1,6x-6y=12$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+5y=1માંથી 6x-6y=12 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+5y+6y=1-12$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$5y+6y=1-12$$

6y માં 5y ઍડ કરો.

$$11y=1-12$$

-12 માં 1 ઍડ કરો.

$$11y=-11$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

x-y=2માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-\left(-1\right)=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$