{l}{6x+15y=360}{8x+10y=440} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=50$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+15y=360$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 15y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-15y+360$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

-15y+360 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

અન્ય સમીકરણ, 8x+10y=440 માં x માટે -\frac{5y}{2}+60 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

-\frac{5y}{2}+60 ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-20y+480+10y=440$$

10y માં -20y ઍડ કરો.

$$-10y+480=440$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 480 નો ઘટાડો કરો.

$$-10y=-40$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

4 ને -\frac{5}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-10+60$$

-10 માં 60 ઍડ કરો.

$$x=50$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=50,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=50,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x અને 8x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

સરળ બનાવો.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 48x+120y=2880માંથી 48x+60y=2640 ને ઘટાડો.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

-48x માં 48x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 48x અને -48x ને વિભાજિત કરો.

$$120y-60y=2880-2640$$

-60y માં 120y ઍડ કરો.

$$60y=2880-2640$$

-2640 માં 2880 ઍડ કરો.

$$60y=240$$

બન્ને બાજુનો 60 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

8x+10y=440માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$8x+10\times 4=440$$

4 ને 10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$8x+40=440$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 40 નો ઘટાડો કરો.

$$8x=400$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=50$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=50,y=4$$