{l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z માટે ઉકેલો

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$5y-4z=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4z ઍડ કરો.

$$5y=4z-1$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

4z-1 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -7y+7z=9 માં y માટે \frac{4z-1}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

\frac{4z-1}{5} ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

7z માં -\frac{28z}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$z=\frac{38}{7}$$

y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}માં z માટે \frac{38}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{4}{5} નો \frac{38}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{152}{35} માં -\frac{1}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{29}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને z ને કાઢો.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y અને -7y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -35y+28z=7માંથી -35y+35z=45 ને ઘટાડો.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

35y માં -35y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -35y અને 35y ને વિભાજિત કરો.

$$28z-35z=7-45$$

-35z માં 28z ઍડ કરો.

$$-7z=7-45$$

-45 માં 7 ઍડ કરો.

$$-7z=-38$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$z=\frac{38}{7}$$

-7y+7z=9માં z માટે \frac{38}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

\frac{38}{7} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-7y+38=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 38 નો ઘટાડો કરો.

$$-7y=-29$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{29}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$