{l}{5x-3y=a}{3x-2y=b} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = a } \\ { 3 x - 2 y = b } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2a-3b$$

$$y=3a-5b$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x-3y=a,3x-2y=b$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x-3y=a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$5x=3y+a$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+a\right)$$

3y+a ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{a}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-2y=b માં x માટે \frac{3y+a}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{a}{5}\right)-2y=b$$

\frac{3y+a}{5} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{5}y+\frac{3a}{5}-2y=b$$

-2y માં \frac{9y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{3a}{5}=b$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3a}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{3a}{5}+b$$

બન્ને બાજુનો -5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=3a-5b$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{a}{5}માં y માટે -5b+3a ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{5}\left(3a-5b\right)+\frac{a}{5}$$

-5b+3a ને \frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{9a}{5}-3b+\frac{a}{5}$$

-3b+\frac{9a}{5} માં \frac{a}{5} ઍડ કરો.

$$x=2a-3b$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2a-3b,y=3a-5b$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x-3y=a,3x-2y=b$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a-3b\\3a-5b\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2a-3b,y=3a-5b$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x-3y=a,3x-2y=b$$

5x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3a,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5b$$

સરળ બનાવો.

$$15x-9y=3a,15x-10y=5b$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x-9y=3aમાંથી 15x-10y=5b ને ઘટાડો.

$$15x-15x-9y+10y=3a-5b$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$-9y+10y=3a-5b$$

10y માં -9y ઍડ કરો.

$$y=3a-5b$$

3x-2y=bમાં y માટે 3a-5b ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-2\left(3a-5b\right)=b$$

3a-5b ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+10b-6a=b$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -6a+10b નો ઘટાડો કરો.

$$3x=6a-9b$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2a-3b$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2a-3b,y=3a-5b$$