{l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x-3y=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$5x=3y+13$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

3y+13 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -9x-2y=-2 માં x માટે \frac{3y+13}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

\frac{3y+13}{5} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

-2y માં -\frac{27y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{117}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{37}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{107}{37}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}માં y માટે -\frac{107}{37} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{5} નો -\frac{107}{37} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{321}{185} માં \frac{13}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{32}{37}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

5x અને -9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -45x+27y=-117માંથી -45x-10y=-10 ને ઘટાડો.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

45x માં -45x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -45x અને 45x ને વિભાજિત કરો.

$$27y+10y=-117+10$$

10y માં 27y ઍડ કરો.

$$37y=-117+10$$

10 માં -117 ઍડ કરો.

$$37y=-107$$

બન્ને બાજુનો 37 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{107}{37}$$

-9x-2y=-2માં y માટે -\frac{107}{37} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

-\frac{107}{37} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{214}{37} નો ઘટાડો કરો.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{32}{37}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$