{l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=160$$

$$y=180$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2x+4y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$1020=2060-2x-4y$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$2060-2x-4y=1020$$

બન્ને બાજુથી 2060 ઘટાડો.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 મેળવવા માટે 1020 માંથી 2060 ને ઘટાડો.

$$-2x-4y=-1040$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+7y=2060$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-7y+2060$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

-7y+2060 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

અન્ય સમીકરણ, -2x-4y=-1040 માં x માટે -\frac{7y}{5}+412 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

-\frac{7y}{5}+412 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

-4y માં \frac{14y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 824 ઍડ કરો.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{6}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=180$$

x=-\frac{7}{5}y+412માં y માટે 180 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

180 ને -\frac{7}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-252+412$$

-252 માં 412 ઍડ કરો.

$$x=160$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=160,y=180$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2x+4y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$1020=2060-2x-4y$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$2060-2x-4y=1020$$

બન્ને બાજુથી 2060 ઘટાડો.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 મેળવવા માટે 1020 માંથી 2060 ને ઘટાડો.

$$-2x-4y=-1040$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=160,y=180$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2x+4y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$1020=2060-2x-4y$$

બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$2060-2x-4y=1020$$

બન્ને બાજુથી 2060 ઘટાડો.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 મેળવવા માટે 1020 માંથી 2060 ને ઘટાડો.

$$-2x-4y=-1040$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -10x-14y=-4120માંથી -10x-20y=-5200 ને ઘટાડો.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

10x માં -10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -10x અને 10x ને વિભાજિત કરો.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

20y માં -14y ઍડ કરો.

$$6y=-4120+5200$$

5200 માં -4120 ઍડ કરો.

$$6y=1080$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=180$$

-2x-4y=-1040માં y માટે 180 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

180 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x-720=-1040$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 720 ઍડ કરો.

$$-2x=-320$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=160$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=160,y=180$$