{l}{5x+2y=6}{2x+5y=8} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+2y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-2y+6$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

-2y+6 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+5y=8 માં x માટે \frac{-2y+6}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

\frac{-2y+6}{5} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

5y માં -\frac{4y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{12}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{21}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}માં y માટે \frac{4}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{5} નો \frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{8}{15} માં \frac{6}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

5x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+4y=12માંથી 10x+25y=40 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$4y-25y=12-40$$

-25y માં 4y ઍડ કરો.

$$-21y=12-40$$

-40 માં 12 ઍડ કરો.

$$-21y=-28$$

બન્ને બાજુનો -21 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{4}{3}$$

2x+5y=8માં y માટે \frac{4}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

\frac{4}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{20}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$2x=\frac{4}{3}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$