{l}{5x+(5i)y=100}{(5i)x+(5-10i)y=60+80i} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + ( 5 i ) y = 100 } \\ { ( 5 i ) x + ( 5 - 10 i ) y = 60 + 80 i } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=22-4i$$

$$y=4+2i$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+5iy=100$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5iy નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-5iy+100$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5iy+100\right)$$

-5iy+100 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-iy+20$$

અન્ય સમીકરણ, 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i માં x માટે -iy+20 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5i\left(-iy+20\right)+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

-iy+20 ને 5i વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y+100i+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

\left(5-10i\right)y માં 5y ઍડ કરો.

$$\left(10-10i\right)y+100i=60+80i$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 100i નો ઘટાડો કરો.

$$\left(10-10i\right)y=60-20i$$

બન્ને બાજુનો 10-10i થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4+2i$$

x=-iy+20માં y માટે 4+2i ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-i\left(4+2i\right)+20$$

4+2i ને -i વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=2-4i+20$$

2-4i માં 20 ઍડ કરો.

$$x=22-4i$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5-10i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\\-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&\frac{5}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\\\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\\\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22-4i\\4+2i\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

5x અને 5ix ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5i સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5i\times 5x+5i\times \left(5i\right)y=5i\times 100,5\times \left(5i\right)x+5\left(5-10i\right)y=5\left(60+80i\right)$$

સરળ બનાવો.

$$25ix-25y=500i,25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 25ix-25y=500iમાંથી 25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i ને ઘટાડો.

$$25ix-25ix-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

-25ix માં 25ix ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 25ix અને -25ix ને વિભાજિત કરો.

$$-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

\left(-25+50i\right)y માં -25y ઍડ કરો.

$$\left(-50+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

-300-400i માં 500i ઍડ કરો.

$$\left(-50+50i\right)y=-300+100i$$

બન્ને બાજુનો -50+50i થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4+2i$$

5ix+\left(5-10i\right)y=60+80iમાં y માટે 4+2i ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5ix+\left(5-10i\right)\left(4+2i\right)=60+80i$$

4+2i ને 5-10i વાર ગુણાકાર કરો.

$$5ix+\left(40-30i\right)=60+80i$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 40-30i નો ઘટાડો કરો.

$$5ix=20+110i$$

બન્ને બાજુનો 5i થી ભાગાકાર કરો.

$$x=22-4i$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=22-4i,y=4+2i$$