{l}{5a+3b=5}{-2a+4b=24} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 a + 3 b = 5 } \\ { - 2 a + 4 b = 24 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=-2$$

$$b=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5a+3b=5,-2a+4b=24$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$5a+3b=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3b નો ઘટાડો કરો.

$$5a=-3b+5$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{5}\left(-3b+5\right)$$

-3b+5 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{3}{5}b+1$$

અન્ય સમીકરણ, -2a+4b=24 માં a માટે -\frac{3b}{5}+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-\frac{3}{5}b+1\right)+4b=24$$

-\frac{3b}{5}+1 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{6}{5}b-2+4b=24$$

4b માં \frac{6b}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{26}{5}b-2=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$\frac{26}{5}b=26$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{26}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=5$$

a=-\frac{3}{5}b+1માં b માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{3}{5}\times 5+1$$

5 ને -\frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-3+1$$

-3 માં 1 ઍડ કરો.

$$a=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=-2,b=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5a+3b=5,-2a+4b=24$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5\times 4-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{26}\\\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 5-\frac{3}{26}\times 24\\\frac{1}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=-2,b=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5a+3b=5,-2a+4b=24$$

5a અને -2a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 5a-2\times 3b=-2\times 5,5\left(-2\right)a+5\times 4b=5\times 24$$

સરળ બનાવો.

$$-10a-6b=-10,-10a+20b=120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -10a-6b=-10માંથી -10a+20b=120 ને ઘટાડો.

$$-10a+10a-6b-20b=-10-120$$

10a માં -10a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -10a અને 10a ને વિભાજિત કરો.

$$-6b-20b=-10-120$$

-20b માં -6b ઍડ કરો.

$$-26b=-10-120$$

-120 માં -10 ઍડ કરો.

$$-26b=-130$$

બન્ને બાજુનો -26 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=5$$

-2a+4b=24માં b માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$-2a+4\times 5=24$$

5 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2a+20=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$-2a=4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=-2,b=5$$