{l}{44=12k+b}{16=82k+b} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b માટે ઉકેલો

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$12k+b=44$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$82k+b=16$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને k ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને k માટે ઉકેલો.

$$12k+b=44$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી b નો ઘટાડો કરો.

$$12k=-b+44$$

બન્ને બાજુનો 12 થી ભાગાકાર કરો.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

-b+44 ને \frac{1}{12} વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 82k+b=16 માં k માટે -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

-\frac{b}{12}+\frac{11}{3} ને 82 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

b માં -\frac{41b}{6} ઍડ કરો.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{902}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{35}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=\frac{244}{5}$$

k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}માં b માટે \frac{244}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું k માટે ઉકેલો.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{12} નો \frac{244}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{61}{15} માં \frac{11}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$k=-\frac{2}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$12k+b=44$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$82k+b=16$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો k અને b ને કાઢો.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$12k+b=44$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$82k+b=16$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12k+b=44માંથી 82k+b=16 ને ઘટાડો.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

-b માં b ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો b અને -b ને વિભાજિત કરો.

$$12k-82k=44-16$$

-82k માં 12k ઍડ કરો.

$$-70k=44-16$$

-16 માં 44 ઍડ કરો.

$$-70k=28$$

બન્ને બાજુનો -70 થી ભાગાકાર કરો.

$$k=-\frac{2}{5}$$

82k+b=16માં k માટે -\frac{2}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું b માટે ઉકેલો.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

-\frac{2}{5} ને 82 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{164}{5} ઍડ કરો.

$$b=\frac{244}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$