{l}{44=112k+b}{16=82k+b} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b માટે ઉકેલો

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$112k+b=44$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$82k+b=16$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને k ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને k માટે ઉકેલો.

$$112k+b=44$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી b નો ઘટાડો કરો.

$$112k=-b+44$$

બન્ને બાજુનો 112 થી ભાગાકાર કરો.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

-b+44 ને \frac{1}{112} વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

અન્ય સમીકરણ, 82k+b=16 માં k માટે -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

-\frac{b}{112}+\frac{11}{28} ને 82 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

b માં -\frac{41b}{56} ઍડ કરો.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{451}{14} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{15}{56} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=-\frac{908}{15}$$

k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}માં b માટે -\frac{908}{15} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું k માટે ઉકેલો.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{112} નો -\frac{908}{15} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{227}{420} માં \frac{11}{28} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$k=\frac{14}{15}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$112k+b=44$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$82k+b=16$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો k અને b ને કાઢો.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$112k+b=44$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$82k+b=16$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 112k+b=44માંથી 82k+b=16 ને ઘટાડો.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

-b માં b ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો b અને -b ને વિભાજિત કરો.

$$112k-82k=44-16$$

-82k માં 112k ઍડ કરો.

$$30k=44-16$$

-16 માં 44 ઍડ કરો.

$$30k=28$$

બન્ને બાજુનો 30 થી ભાગાકાર કરો.

$$k=\frac{14}{15}$$

82k+b=16માં k માટે \frac{14}{15} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું b માટે ઉકેલો.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

\frac{14}{15} ને 82 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1148}{15} નો ઘટાડો કરો.

$$b=-\frac{908}{15}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$