{l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=0.1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$40x+720y=112$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 720y નો ઘટાડો કરો.

$$40x=-720y+112$$

બન્ને બાજુનો 40 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

-720y+112 ને \frac{1}{40} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 120x+2205y=340.5 માં x માટે -18y+\frac{14}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

-18y+\frac{14}{5} ને 120 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

2205y માં -2160y ઍડ કરો.

$$45y+336=340.5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 336 નો ઘટાડો કરો.

$$45y=4.5$$

બન્ને બાજુનો 45 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=0.1$$

x=-18y+\frac{14}{5}માં y માટે 0.1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

0.1 ને -18 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -1.8 માં \frac{14}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=0.1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x અને 120x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 120 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 40 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

સરળ બનાવો.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4800x+86400y=13440માંથી 4800x+88200y=13620 ને ઘટાડો.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

-4800x માં 4800x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4800x અને -4800x ને વિભાજિત કરો.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

-88200y માં 86400y ઍડ કરો.

$$-1800y=13440-13620$$

-13620 માં 13440 ઍડ કરો.

$$-1800y=-180$$

બન્ને બાજુનો -1800 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{10}$$

120x+2205y=340.5માં y માટે \frac{1}{10} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

\frac{1}{10} ને 2205 વાર ગુણાકાર કરો.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{441}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$120x=120$$

બન્ને બાજુનો 120 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$