{l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4a ઍડ કરો.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ ay ઍડ કરો.

$$4x=ay+4a$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

a\left(4+y\right) ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

અન્ય સમીકરણ, ax-4y+6a=0 માં x માટે a+\frac{ay}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a+\frac{ay}{4} ને a વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

-4y માં \frac{a^{2}y}{4} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

6a માં a^{2} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી a\left(6+a\right) નો ઘટાડો કરો.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

બન્ને બાજુનો -4+\frac{a^{2}}{4} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

x=\frac{a}{4}y+aમાં y માટે -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} ને \frac{a}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

-\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16} માં a ઍડ કરો.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x અને ax ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો a સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

સરળ બનાવો.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0માંથી 4ax-16y+24a=0 ને ઘટાડો.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-4ax માં 4ax ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4ax અને -4ax ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

16y માં -a^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-24a માં -4a^{2} ઍડ કરો.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4a\left(6+a\right) ઍડ કરો.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

બન્ને બાજુનો -a^{2}+16 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ax-4y+6a=0માં y માટે \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

6a માં -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ઍડ કરો.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} ઍડ કરો.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

બન્ને બાજુનો a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4a ઍડ કરો.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ ay ઍડ કરો.

$$4x=ay+4a$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

a\left(4+y\right) ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

અન્ય સમીકરણ, ax-4y+6a=0 માં x માટે a+\frac{ay}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a+\frac{ay}{4} ને a વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

-4y માં \frac{a^{2}y}{4} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

6a માં a^{2} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી a\left(6+a\right) નો ઘટાડો કરો.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

બન્ને બાજુનો -4+\frac{a^{2}}{4} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

x=\frac{a}{4}y+aમાં y માટે -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} ને \frac{a}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

-\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16} માં a ઍડ કરો.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x અને ax ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો a સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

સરળ બનાવો.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0માંથી 4ax-16y+24a=0 ને ઘટાડો.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-4ax માં 4ax ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4ax અને -4ax ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

16y માં -a^{2}y ઍડ કરો.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-24a માં -4a^{2} ઍડ કરો.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4a\left(6+a\right) ઍડ કરો.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

બન્ને બાજુનો -a^{2}+16 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ax-4y+6a=0માં y માટે \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

6a માં -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ઍડ કરો.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} ઍડ કરો.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

બન્ને બાજુનો a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$