{l}{4x+5y=5}{-4x-10y=-7} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 5 } \\ { - 4 x - 10 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+5y=5,-4x-10y=-7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+5y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-5y+5$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+5\right)$$

-5y+5 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, -4x-10y=-7 માં x માટે \frac{-5y+5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4\left(-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}\right)-10y=-7$$

\frac{-5y+5}{4} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y-5-10y=-7$$

-10y માં 5y ઍડ કરો.

$$-5y-5=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5 ઍડ કરો.

$$-5y=-2$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{2}{5}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}માં y માટે \frac{2}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{5}{4}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{5}{4} નો \frac{2}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{1}{2} માં \frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{3}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{2}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+5y=5,-4x-10y=-7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{4}\left(-7\right)\\-\frac{1}{5}\times 5-\frac{1}{5}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{2}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+5y=5,-4x-10y=-7$$

4x અને -4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4\times 4x-4\times 5y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\left(-10\right)y=4\left(-7\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-16x-20y=-20,-16x-40y=-28$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -16x-20y=-20માંથી -16x-40y=-28 ને ઘટાડો.

$$-16x+16x-20y+40y=-20+28$$

16x માં -16x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -16x અને 16x ને વિભાજિત કરો.

$$-20y+40y=-20+28$$

40y માં -20y ઍડ કરો.

$$20y=-20+28$$

28 માં -20 ઍડ કરો.

$$20y=8$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{2}{5}$$

-4x-10y=-7માં y માટે \frac{2}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-4x-10\times \frac{2}{5}=-7$$

\frac{2}{5} ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4x-4=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$-4x=-3$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{2}{5}$$