{l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m=-2$$

$$n=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$4m+9n=-35$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9n નો ઘટાડો કરો.

$$4m=-9n-35$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

-9n-35 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 3m-8n=18 માં m માટે \frac{-9n-35}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

\frac{-9n-35}{4} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

-8n માં -\frac{27n}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{105}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{59}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$n=-3$$

m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}માં n માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-3 ને -\frac{9}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{27}{4} માં -\frac{35}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=-2,n=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=-2,n=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m અને 3m ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

સરળ બનાવો.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12m+27n=-105માંથી 12m-32n=72 ને ઘટાડો.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

-12m માં 12m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12m અને -12m ને વિભાજિત કરો.

$$27n+32n=-105-72$$

32n માં 27n ઍડ કરો.

$$59n=-105-72$$

-72 માં -105 ઍડ કરો.

$$59n=-177$$

બન્ને બાજુનો 59 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-3$$

3m-8n=18માં n માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-3 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3m+24=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 24 નો ઘટાડો કરો.

$$3m=-6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=-2,n=-3$$