{l}{4a-2b-2=0}{9a+3b-2=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 2 b - 2 = 0 } \\ { 9 a + 3 b - 2 = 0 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$b=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$4a-2b-2=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$4a-2b=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2b ઍડ કરો.

$$4a=2b+2$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{4}\left(2b+2\right)$$

2+2b ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 9a+3b-2=0 માં a માટે \frac{1+b}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\right)+3b-2=0$$

\frac{1+b}{2} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{2}b+\frac{9}{2}+3b-2=0$$

3b માં \frac{9b}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{15}{2}b+\frac{9}{2}-2=0$$

-2 માં \frac{9}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{15}{2}b+\frac{5}{2}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{15}{2}b=-\frac{5}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{15}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=-\frac{1}{3}$$

a=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}માં b માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{2} નો -\frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{1}{6} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{15}\\-\frac{3}{10}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{1}{15}\times 2\\-\frac{3}{10}\times 2+\frac{2}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4a-2b-2=0,9a+3b-2=0$$

4a અને 9a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9\times 4a+9\left(-2\right)b+9\left(-2\right)=0,4\times 9a+4\times 3b+4\left(-2\right)=0$$

સરળ બનાવો.

$$36a-18b-18=0,36a+12b-8=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 36a-18b-18=0માંથી 36a+12b-8=0 ને ઘટાડો.

$$36a-36a-18b-12b-18+8=0$$

-36a માં 36a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 36a અને -36a ને વિભાજિત કરો.

$$-18b-12b-18+8=0$$

-12b માં -18b ઍડ કરો.

$$-30b-18+8=0$$

8 માં -18 ઍડ કરો.

$$-30b-10=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 10 ઍડ કરો.

$$-30b=10$$

બન્ને બાજુનો -30 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-\frac{1}{3}$$

9a+3b-2=0માં b માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$9a+3\left(-\frac{1}{3}\right)-2=0$$

-\frac{1}{3} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9a-1-2=0$$

-2 માં -1 ઍડ કરો.

$$9a-3=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$9a=3$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$$