{l}{4a+3b=13}{6a-5b=-9} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a + 3 b = 13 } \\ { 6 a - 5 b = - 9 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=1$$

$$b=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4a+3b=13,6a-5b=-9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$4a+3b=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3b નો ઘટાડો કરો.

$$4a=-3b+13$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{4}\left(-3b+13\right)$$

-3b+13 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{3}{4}b+\frac{13}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 6a-5b=-9 માં a માટે \frac{-3b+13}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{3}{4}b+\frac{13}{4}\right)-5b=-9$$

\frac{-3b+13}{4} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{2}b+\frac{39}{2}-5b=-9$$

-5b માં -\frac{9b}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{19}{2}b+\frac{39}{2}=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{39}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{19}{2}b=-\frac{57}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{19}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=3$$

a=-\frac{3}{4}b+\frac{13}{4}માં b માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

3 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=\frac{-9+13}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{4} માં \frac{13}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=1,b=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4a+3b=13,6a-5b=-9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{38}&\frac{3}{38}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{38}\times 13+\frac{3}{38}\left(-9\right)\\\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=1,b=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4a+3b=13,6a-5b=-9$$

4a અને 6a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 4a+6\times 3b=6\times 13,4\times 6a+4\left(-5\right)b=4\left(-9\right)$$

સરળ બનાવો.

$$24a+18b=78,24a-20b=-36$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 24a+18b=78માંથી 24a-20b=-36 ને ઘટાડો.

$$24a-24a+18b+20b=78+36$$

-24a માં 24a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 24a અને -24a ને વિભાજિત કરો.

$$18b+20b=78+36$$

20b માં 18b ઍડ કરો.

$$38b=78+36$$

36 માં 78 ઍડ કરો.

$$38b=114$$

બન્ને બાજુનો 38 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=3$$

6a-5b=-9માં b માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$6a-5\times 3=-9$$

3 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6a-15=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 15 ઍડ કરો.

$$6a=6$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=1,b=3$$