{l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=0$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે 2x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 સાથે 2y+x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y ને મેળવવા માટે -4y અને -14y ને એકસાથે કરો.

$$8x-18y-7x=-36$$

x ને મેળવવા માટે 8x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$x-18y=-36$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-2x-4-7y=-18$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14મેળવવા માટે -18 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$-2x-7y=-14$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-18y=-36$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 18y ઍડ કરો.

$$x=18y-36$$

અન્ય સમીકરણ, -2x-7y=-14 માં x માટે -36+18y નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-36+18y ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-36y+72-7y=-14$$

-7y માં -36y ઍડ કરો.

$$-43y+72=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 72 નો ઘટાડો કરો.

$$-43y=-86$$

બન્ને બાજુનો -43 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

x=18y-36માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=18\times 2-36$$

2 ને 18 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=36-36$$

36 માં -36 ઍડ કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે 2x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 સાથે 2y+x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y ને મેળવવા માટે -4y અને -14y ને એકસાથે કરો.

$$8x-18y-7x=-36$$

x ને મેળવવા માટે 8x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$x-18y=-36$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-2x-4-7y=-18$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14મેળવવા માટે -18 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$-2x-7y=-14$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=0,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે 2x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 સાથે 2y+x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y ને મેળવવા માટે -4y અને -14y ને એકસાથે કરો.

$$8x-18y-7x=-36$$

x ને મેળવવા માટે 8x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$x-18y=-36$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-2x-4-7y=-18$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14મેળવવા માટે -18 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$-2x-7y=-14$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

સરળ બનાવો.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x+36y=72માંથી -2x-7y=-14 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$36y+7y=72+14$$

7y માં 36y ઍડ કરો.

$$43y=72+14$$

14 માં 72 ઍડ કરો.

$$43y=86$$

બન્ને બાજુનો 43 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

-2x-7y=-14માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x-7\times 2=-14$$

2 ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x-14=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14 ઍડ કરો.

$$-2x=0$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=2$$