{l}{3x-5y=11}{x+3y=13} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 11 } \\ { x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=7$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-5y=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$3x=5y+11$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+11\right)$$

5y+11 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, x+3y=13 માં x માટે \frac{5y+11}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}+3y=13$$

3y માં \frac{5y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{14}{3}y+\frac{11}{3}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{11}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{14}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

2 ને \frac{5}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{10+11}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{10}{3} માં \frac{11}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{5}{14}\times 13\\-\frac{1}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=7,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x-5y=11,3x+3\times 3y=3\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$3x-5y=11,3x+9y=39$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-5y=11માંથી 3x+9y=39 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-5y-9y=11-39$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-5y-9y=11-39$$

-9y માં -5y ઍડ કરો.

$$-14y=11-39$$

-39 માં 11 ઍડ કરો.

$$-14y=-28$$

બન્ને બાજુનો -14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

x+3y=13માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+3\times 2=13$$

2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x+6=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=2$$