{l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y+5$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

2y+5 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -3x+4y=-9 માં x માટે \frac{2y+5}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

\frac{2y+5}{3} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y-5+4y=-9$$

4y માં -2y ઍડ કરો.

$$2y-5=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5 ઍડ કરો.

$$2y=-4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

-2 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{4}{3} માં \frac{5}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

3x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -9x+6y=-15માંથી -9x+12y=-27 ને ઘટાડો.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

9x માં -9x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -9x અને 9x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-12y=-15+27$$

-12y માં 6y ઍડ કરો.

$$-6y=-15+27$$

27 માં -15 ઍડ કરો.

$$-6y=12$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

-3x+4y=-9માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

-2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x-8=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$-3x=-1$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$