{l}{3x-2y+4=0}{4x+3y+11=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { 4 x + 3 y + 11 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-2$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y+4=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$3x-2y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y-4$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-4\right)$$

-4+2y ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+3y+11=0 માં x માટે \frac{-4+2y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y+11=0$$

\frac{-4+2y}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{8}{3}y-\frac{16}{3}+3y+11=0$$

3y માં \frac{8y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{17}{3}y-\frac{16}{3}+11=0$$

11 માં -\frac{16}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{17}{3}y+\frac{17}{3}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{17}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{17}{3}y=-\frac{17}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{17}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-1$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{4}{3}$$

-1 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-2-4}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{2}{3} માં -\frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-2,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-4\right)+\frac{2}{17}\left(-11\right)\\-\frac{4}{17}\left(-4\right)+\frac{3}{17}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-2,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

3x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 4=0,3\times 4x+3\times 3y+3\times 11=0$$

સરળ બનાવો.

$$12x-8y+16=0,12x+9y+33=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12x-8y+16=0માંથી 12x+9y+33=0 ને ઘટાડો.

$$12x-12x-8y-9y+16-33=0$$

-12x માં 12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12x અને -12x ને વિભાજિત કરો.

$$-8y-9y+16-33=0$$

-9y માં -8y ઍડ કરો.

$$-17y+16-33=0$$

-33 માં 16 ઍડ કરો.

$$-17y-17=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 17 ઍડ કરો.

$$-17y=17$$

બન્ને બાજુનો -17 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

4x+3y+11=0માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+3\left(-1\right)+11=0$$

-1 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-3+11=0$$

11 માં -3 ઍડ કરો.

$$4x+8=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-8$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-2,y=-1$$