{l}{3x+8y=-2}{5x-12y=-4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = - 2 } \\ { 5 x - 12 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

$$y=\frac{1}{38}\approx 0.026315789$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+8y=-2,5x-12y=-4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+8y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-8y-2$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y-2\right)$$

-8y-2 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-12y=-4 માં x માટે \frac{-8y-2}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}\right)-12y=-4$$

\frac{-8y-2}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{40}{3}y-\frac{10}{3}-12y=-4$$

-12y માં -\frac{40y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{76}{3}y-\frac{10}{3}=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{10}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{76}{3}y=-\frac{2}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{76}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{1}{38}$$

x=-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}માં y માટે \frac{1}{38} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{8}{3}\times \frac{1}{38}-\frac{2}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{8}{3} નો \frac{1}{38} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{4}{57}-\frac{2}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{4}{57} માં -\frac{2}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{14}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{14}{19},y=\frac{1}{38}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+8y=-2,5x-12y=-4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{3\left(-12\right)-8\times 5}&-\frac{8}{3\left(-12\right)-8\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-12\right)-8\times 5}&\frac{3}{3\left(-12\right)-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{76}&-\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-2\right)+\frac{2}{19}\left(-4\right)\\\frac{5}{76}\left(-2\right)-\frac{3}{76}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{19}\\\frac{1}{38}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{14}{19},y=\frac{1}{38}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+8y=-2,5x-12y=-4$$

3x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 3x+5\times 8y=5\left(-2\right),3\times 5x+3\left(-12\right)y=3\left(-4\right)$$

સરળ બનાવો.

$$15x+40y=-10,15x-36y=-12$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x+40y=-10માંથી 15x-36y=-12 ને ઘટાડો.

$$15x-15x+40y+36y=-10+12$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$40y+36y=-10+12$$

36y માં 40y ઍડ કરો.

$$76y=-10+12$$

12 માં -10 ઍડ કરો.

$$76y=2$$

બન્ને બાજુનો 76 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{38}$$

5x-12y=-4માં y માટે \frac{1}{38} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-12\times \frac{1}{38}=-4$$

\frac{1}{38} ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-\frac{6}{19}=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{6}{19} ઍડ કરો.

$$5x=-\frac{70}{19}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{14}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{14}{19},y=\frac{1}{38}$$