{l}{3x+2y=98}{8x+3y=158} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 98 } \\ { 8 x + 3 y = 158 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{310}{7} = 44\frac{2}{7} \approx 44.285714286$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=98$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y+98$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+98\right)$$

-2y+98 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 8x+3y=158 માં x માટે \frac{-2y+98}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8\left(-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}\right)+3y=158$$

\frac{-2y+98}{3} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{784}{3}+3y=158$$

3y માં -\frac{16y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{784}{3}=158$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{784}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{310}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{7}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{310}{7}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}માં y માટે \frac{310}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{310}{7}+\frac{98}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{3} નો \frac{310}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{620}{21}+\frac{98}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{620}{21} માં \frac{98}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{22}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 8}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 8}\\-\frac{8}{3\times 3-2\times 8}&\frac{3}{3\times 3-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{8}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 98+\frac{2}{7}\times 158\\\frac{8}{7}\times 98-\frac{3}{7}\times 158\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{310}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

3x અને 8x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$8\times 3x+8\times 2y=8\times 98,3\times 8x+3\times 3y=3\times 158$$

સરળ બનાવો.

$$24x+16y=784,24x+9y=474$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 24x+16y=784માંથી 24x+9y=474 ને ઘટાડો.

$$24x-24x+16y-9y=784-474$$

-24x માં 24x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 24x અને -24x ને વિભાજિત કરો.

$$16y-9y=784-474$$

-9y માં 16y ઍડ કરો.

$$7y=784-474$$

-474 માં 784 ઍડ કરો.

$$7y=310$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{310}{7}$$

8x+3y=158માં y માટે \frac{310}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$8x+3\times \frac{310}{7}=158$$

\frac{310}{7} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$8x+\frac{930}{7}=158$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{930}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$8x=\frac{176}{7}$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{22}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$