{l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2k$$

$$y=5k$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=16k$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y+16k$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

-2y+16k ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-4y=-10k માં x માટે \frac{-2y+16k}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

\frac{-2y+16k}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-4y માં -\frac{10y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{80k}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{22}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=5k$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}માં y માટે 5k ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

5k ને -\frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

-\frac{10k}{3} માં \frac{16k}{3} ઍડ કરો.

$$x=2k$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2k,y=5k$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2k,y=5k$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

સરળ બનાવો.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x+10y=80kમાંથી 15x-12y=-30k ને ઘટાડો.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$10y+12y=80k+30k$$

12y માં 10y ઍડ કરો.

$$22y=80k+30k$$

30k માં 80k ઍડ કરો.

$$22y=110k$$

બન્ને બાજુનો 22 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5k$$

5x-4y=-10kમાં y માટે 5k ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

5k ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-20k=-10k$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 20k ઍડ કરો.

$$5x=10k$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2k$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2k,y=5k$$