{l}{3x+2y=1}{7x+3y=-1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 7 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=1,7x+3y=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y+1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

-2y+1 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+3y=-1 માં x માટે \frac{-2y+1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

\frac{-2y+1}{3} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{7}{3}+3y=-1$$

3y માં -\frac{14y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{10}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}$$

2 ને -\frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4+1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{4}{3} માં \frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=1,7x+3y=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{3\times 3-2\times 7}&\frac{3}{3\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\left(-1\right)\\\frac{7}{5}-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=1,7x+3y=-1$$

3x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 3x+7\times 2y=7,3\times 7x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$21x+14y=7,21x+9y=-3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 21x+14y=7માંથી 21x+9y=-3 ને ઘટાડો.

$$21x-21x+14y-9y=7+3$$

-21x માં 21x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 21x અને -21x ને વિભાજિત કરો.

$$14y-9y=7+3$$

-9y માં 14y ઍડ કરો.

$$5y=7+3$$

3 માં 7 ઍડ કરો.

$$5y=10$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

7x+3y=-1માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x+3\times 2=-1$$

2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7x+6=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-7$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$