{l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m=1$$

$$n=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$3m+4n=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4n નો ઘટાડો કરો.

$$3m=-4n+7$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

-4n+7 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4m-3n-1=0 માં m માટે \frac{-4n+7}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

\frac{-4n+7}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

-3n માં -\frac{16n}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

-1 માં \frac{28}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{25}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{25}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$n=1$$

m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}માં n માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{4}{3} માં \frac{7}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=1,n=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=1,n=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

3m અને 4m ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

સરળ બનાવો.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12m+16n=28માંથી 12m-9n-3=0 ને ઘટાડો.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

-12m માં 12m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12m અને -12m ને વિભાજિત કરો.

$$16n+9n+3=28$$

9n માં 16n ઍડ કરો.

$$25n+3=28$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$25n=25$$

બન્ને બાજુનો 25 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=1$$

4m-3n-1=0માં n માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$4m-3-1=0$$

-1 માં -3 ઍડ કરો.

$$4m-4=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$4m=4$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=1,n=1$$