{l}{3a+14b=4}{13a+19b=13} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$3a+14b=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 14b નો ઘટાડો કરો.

$$3a=-14b+4$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

-14b+4 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 13a+19b=13 માં a માટે \frac{-14b+4}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

\frac{-14b+4}{3} ને 13 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

19b માં -\frac{182b}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{52}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{125}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}માં b માટે \frac{13}{125} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{14}{3} નો \frac{13}{125} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{182}{375} માં \frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{106}{125}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a અને 13a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 13 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 39a+182b=52માંથી 39a+57b=39 ને ઘટાડો.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

-39a માં 39a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 39a અને -39a ને વિભાજિત કરો.

$$182b-57b=52-39$$

-57b માં 182b ઍડ કરો.

$$125b=52-39$$

-39 માં 52 ઍડ કરો.

$$125b=13$$

બન્ને બાજુનો 125 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13માં b માટે \frac{13}{125} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

\frac{13}{125} ને 19 વાર ગુણાકાર કરો.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{247}{125} નો ઘટાડો કરો.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

બન્ને બાજુનો 13 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{106}{125}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$