{l}{3(x-1)=y+5}{5(y-1)=3(x+1)} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = y + 5 } \\ { 5 ( y - 1 ) = 3 ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=y+5$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-3-y=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-y=5+3$$

8મેળવવા માટે 5 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3x+3$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$5y-5-3x=3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$5y-3x=3+5$$

8મેળવવા માટે 3 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$5y-3x=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$3x=y+8$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

y+8 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -3x+5y=8 માં x માટે \frac{8+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+5y=8$$

\frac{8+y}{3} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y-8+5y=8$$

5y માં -y ઍડ કરો.

$$4y-8=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$4y=16$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{8}{3}$$

4 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4+8}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{3} માં \frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=y+5$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-3-y=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-y=5+3$$

8મેળવવા માટે 5 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3x+3$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$5y-5-3x=3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$5y-3x=3+5$$

8મેળવવા માટે 3 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$5y-3x=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 8+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=y+5$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-3-y=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-y=5+3$$

8મેળવવા માટે 5 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3x+3$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$5y-5-3x=3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$5y-3x=3+5$$

8મેળવવા માટે 3 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$5y-3x=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

3x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3\times 3x-3\left(-1\right)y=-3\times 8,3\left(-3\right)x+3\times 5y=3\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$-9x+3y=-24,-9x+15y=24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -9x+3y=-24માંથી -9x+15y=24 ને ઘટાડો.

$$-9x+9x+3y-15y=-24-24$$

9x માં -9x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -9x અને 9x ને વિભાજિત કરો.

$$3y-15y=-24-24$$

-15y માં 3y ઍડ કરો.

$$-12y=-24-24$$

-24 માં -24 ઍડ કરો.

$$-12y=-48$$

બન્ને બાજુનો -12 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

-3x+5y=8માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x+5\times 4=8$$

4 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x+20=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$-3x=-12$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=4$$