{l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=7$$

$$y=10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=2y-2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-3-2y=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-2y=-2+3$$

1મેળવવા માટે -2 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-2y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3 સાથે x+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-4=3x+15$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$4y-4-3x=15$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$4y-3x=15+4$$

19મેળવવા માટે 15 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$4y-3x=19$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y+1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -3x+4y=19 માં x માટે \frac{2y+1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

\frac{2y+1}{3} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y-1+4y=19$$

4y માં -2y ઍડ કરો.

$$2y-1=19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$2y=20$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=10$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

10 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{20}{3} માં \frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=2y-2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-3-2y=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-2y=-2+3$$

1મેળવવા માટે -2 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-2y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3 સાથે x+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-4=3x+15$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$4y-4-3x=15$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$4y-3x=15+4$$

19મેળવવા માટે 15 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$4y-3x=19$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=7,y=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=2y-2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-3-2y=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-2y=-2+3$$

1મેળવવા માટે -2 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-2y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3 સાથે x+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-4=3x+15$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$4y-4-3x=15$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$4y-3x=15+4$$

19મેળવવા માટે 15 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$4y-3x=19$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

3x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

સરળ બનાવો.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -9x+6y=-3માંથી -9x+12y=57 ને ઘટાડો.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

9x માં -9x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -9x અને 9x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-12y=-3-57$$

-12y માં 6y ઍડ કરો.

$$-6y=-3-57$$

-57 માં -3 ઍડ કરો.

$$-6y=-60$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=10$$

-3x+4y=19માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x+4\times 10=19$$

10 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x+40=19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 40 નો ઘટાડો કરો.

$$-3x=-21$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=10$$