{l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x ને મેળવવા માટે 3x અને -4x ને એકસાથે કરો.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y ને મેળવવા માટે 3y અને 4y ને એકસાથે કરો.

$$-x+7y=-18$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. \frac{1}{2} સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}x અને \frac{1}{6}x ને એકસાથે કરો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}y અને -\frac{1}{6}y ને એકસાથે કરો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x+7y=-18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-7y-18$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-7y-18 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=7y+18$$

અન્ય સમીકરણ, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 માં x માટે 7y+18 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

7y+18 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{3} માં \frac{14y}{3} ઍડ કરો.

$$5y+12=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 12 નો ઘટાડો કરો.

$$5y=-10$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

x=7y+18માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

-2 ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-14+18$$

-14 માં 18 ઍડ કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x ને મેળવવા માટે 3x અને -4x ને એકસાથે કરો.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y ને મેળવવા માટે 3y અને 4y ને એકસાથે કરો.

$$-x+7y=-18$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. \frac{1}{2} સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}x અને \frac{1}{6}x ને એકસાથે કરો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}y અને -\frac{1}{6}y ને એકસાથે કરો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x ને મેળવવા માટે 3x અને -4x ને એકસાથે કરો.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y ને મેળવવા માટે 3y અને 4y ને એકસાથે કરો.

$$-x+7y=-18$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. \frac{1}{2} સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}x અને \frac{1}{6}x ને એકસાથે કરો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}y અને -\frac{1}{6}y ને એકસાથે કરો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x અને \frac{2x}{3} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો \frac{2}{3} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

સરળ બનાવો.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12માંથી -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 ને ઘટાડો.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{2x}{3} માં -\frac{2x}{3} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{2x}{3} અને \frac{2x}{3} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{y}{3} માં \frac{14y}{3} ઍડ કરો.

$$5y=-12+2$$

2 માં -12 ઍડ કરો.

$$5y=-10$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

-2 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{2}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=-2$$