{l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x ને મેળવવા માટે 3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x+3y+9=-2y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y ને મેળવવા માટે 3y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$x+5y+9=0$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$x+5y=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x ને મેળવવા માટે 2x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$-x+2y=-3y-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3y ઍડ કરો.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y ને મેળવવા માટે 2y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-x+5y=-4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+5y=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-5y-9$$

અન્ય સમીકરણ, -x+5y=-4 માં x માટે -5y-9 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-5y-9 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y+9+5y=-4$$

5y માં 5y ઍડ કરો.

$$10y+9=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$10y=-13$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{13}{10}$$

x=-5y-9માં y માટે -\frac{13}{10} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-\frac{13}{10} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

\frac{13}{2} માં -9 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{5}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x ને મેળવવા માટે 3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x+3y+9=-2y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y ને મેળવવા માટે 3y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$x+5y+9=0$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$x+5y=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x ને મેળવવા માટે 2x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$-x+2y=-3y-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3y ઍડ કરો.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y ને મેળવવા માટે 2y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-x+5y=-4$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x ને મેળવવા માટે 3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x+3y+9=-2y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y ને મેળવવા માટે 3y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$x+5y+9=0$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$x+5y=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x ને મેળવવા માટે 2x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$-x+2y=-3y-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3y ઍડ કરો.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y ને મેળવવા માટે 2y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-x+5y=-4$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x+5y=-9માંથી -x+5y=-4 ને ઘટાડો.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

-5y માં 5y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5y અને -5y ને વિભાજિત કરો.

$$x+x=-9+4$$

x માં x ઍડ કરો.

$$2x=-9+4$$

4 માં -9 ઍડ કરો.

$$2x=-5$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{2}$$

-x+5y=-4માં x માટે -\frac{5}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-\frac{5}{2} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{13}{10}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$