{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 5x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 સાથે 2y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 મેળવવા માટે -6 માંથી 21 ને ઘટાડો.

$$15x-27-14y=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27 ઍડ કરો.

$$15x-14y=2+27$$

29મેળવવા માટે 2 અને 27 ને ઍડ કરો.

$$15x-14y=29$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 સાથે 4-9x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y-23=12-27x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27x ઍડ કરો.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ને મેળવવા માટે 6x અને 27x ને એકસાથે કરો.

$$33x-2y-23=12$$

બંને સાઇડ્સ માટે 23 ઍડ કરો.

$$33x-2y=12+23$$

35મેળવવા માટે 12 અને 23 ને ઍડ કરો.

$$33x-2y=35$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$15x-14y=29$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14y ઍડ કરો.

$$15x=14y+29$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

14y+29 ને \frac{1}{15} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

અન્ય સમીકરણ, 33x-2y=35 માં x માટે \frac{14y+29}{15} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

\frac{14y+29}{15} ને 33 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

-2y માં \frac{154y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{319}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{144}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

-1 ને \frac{14}{15} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{14}{15} માં \frac{29}{15} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 5x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 સાથે 2y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 મેળવવા માટે -6 માંથી 21 ને ઘટાડો.

$$15x-27-14y=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27 ઍડ કરો.

$$15x-14y=2+27$$

29મેળવવા માટે 2 અને 27 ને ઍડ કરો.

$$15x-14y=29$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 સાથે 4-9x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y-23=12-27x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27x ઍડ કરો.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ને મેળવવા માટે 6x અને 27x ને એકસાથે કરો.

$$33x-2y-23=12$$

બંને સાઇડ્સ માટે 23 ઍડ કરો.

$$33x-2y=12+23$$

35મેળવવા માટે 12 અને 23 ને ઍડ કરો.

$$33x-2y=35$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 5x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 સાથે 2y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 મેળવવા માટે -6 માંથી 21 ને ઘટાડો.

$$15x-27-14y=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27 ઍડ કરો.

$$15x-14y=2+27$$

29મેળવવા માટે 2 અને 27 ને ઍડ કરો.

$$15x-14y=29$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 સાથે 4-9x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-2y-23=12-27x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27x ઍડ કરો.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ને મેળવવા માટે 6x અને 27x ને એકસાથે કરો.

$$33x-2y-23=12$$

બંને સાઇડ્સ માટે 23 ઍડ કરો.

$$33x-2y=12+23$$

35મેળવવા માટે 12 અને 23 ને ઍડ કરો.

$$33x-2y=35$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x અને 33x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 33 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 15 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

સરળ બનાવો.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 495x-462y=957માંથી 495x-30y=525 ને ઘટાડો.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

-495x માં 495x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 495x અને -495x ને વિભાજિત કરો.

$$-462y+30y=957-525$$

30y માં -462y ઍડ કરો.

$$-432y=957-525$$

-525 માં 957 ઍડ કરો.

$$-432y=432$$

બન્ને બાજુનો -432 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

33x-2y=35માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-1 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$33x+2=35$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$33x=33$$

બન્ને બાજુનો 33 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$